Question 置換積分法とは何ですか？具体的な例を挙げて説明してください。 ———- Answer 置換積分法とは、与えられた積分式を別の変数に置き換えることによって、積分がより簡単に計算できるようにする方法です。 具体的な例として、次の積分を考えます。 ∫(x²+1)^(1/2) dx この式は、積分の被積分関数が二次式の平方根であるため、直接的な積分ができません。そこで、置換積分法を用いて解決します。以下の手順で進めます。 1. u=x²+1 とおく。 2. du/dx = 2x であるから、dx = du/2x と置き換える。 3. 積分式を変数uを用いた式に置き換える。 ∫(x²+1)^(1/2) dx = ∫(u)^(1/2) du/2x 4. u=x²+1をxについて解き直し、x=(u-1)^(1/2)とおく。 5. 置き換え後の式にxを代入する。 ∫(x²+1)^(1/2) dx = ∫(u)^(1/2) du/2x = ∫(u)^(1/2) du/[2(u-1)^(1/2)] 6. この式をさらに簡単に計算すると、 ∫(x²+1)^(1/2) dx = [2(u-1)^(1/2) + u^(1/2)]/2 + C = (u-1)^(1/2) + (u/2)^(1/2) + C […]
Question 部分積分法の公式とその適用例を説明してください。 ———- Answer 部分積分法の公式は以下の式で表されます。 ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) − ∫v(x)u'(x)dx この式は、2つの関数u(x)とv(x)の積分を行う場合に使用されます。具体的には、u(x)を微分してv'(x)を得られる場合に適用されます。このとき、積分する式をu(x)v'(x)として、u(x)とv'(x)のそれぞれの積分を求めます。そして、求めた式を代入することで、元の式を簡単にすることができます。 例えば、以下のような式を考えてみましょう。 ∫x^2e^x dx この式に部分積分法を適用すると、次のようになります。 u(x) = x^2 → u'(x) = 2x v'(x) = e^x → v(x) = e^x ∫x^2e^x dx = x^2e^x − ∫2xe^x dx このように、積分する式を変形することで、計算を簡単にすることができます。部分積分法は、三角関数や指数関数を含むような複雑な式を簡単に解く場合にも有効です。
Question 基本的な微分公式のうち、どの公式が積分計算に逆転して使用できますか？ ———- Answer 基本的な微分公式のうち、積分計算に逆転して使用できるのは、積の微分公式と定数倍の微分公式です。つまり、以下の公式が逆転して使えます。 – 積の微分公式：$\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f(x)\frac{d}{dx}g(x)+g(x)\frac{d}{dx}f(x)$ – 定数倍の微分公式：$\frac{d}{dx}(cf(x))=c\frac{d}{dx}f(x)$ 逆に、加法の微分公式や商の微分公式は積分計算には直接使用できず、別の計算方法が必要です。