Question リーマンのゼータ関数とは何ですか？ ———- Answer リーマンのゼータ関数（リーマンのぜーたかんすう、英: Riemann zeta function）は、ドイツの数学者ベルンハルト・リーマンによって導入された特殊な関数です。リーマンのゼータ関数は、複素数 s の値に対して定義され、複素平面全体にわたって解析接続によって定義されます。 リーマンのゼータ関数は、ζ(s) と表され、実数の部分 s の値によって異なる値を取ります。特に、複素平面の s の実部が 1 より大きい場合、無限級数を用いて次のように定義されます。 ζ(s) = 1^(-s) + 2^(-s) + 3^(-s) + 4^(-s) + … ただし、この無限級数は実部が 1 より大きい s に対して絶対収束することが要求されます。したがって、この定義は s の特定の範囲に制限されます。 リーマンのゼータ関数は、数論や解析数論、物理学など様々な分野で重要な役割を果たしています。特に、s = 1 の場合のリーマンのゼータ関数の振る舞いは、素数の分布に関連しており、数論の重要な問題として知られています。
Question フェルマーの最終定理とは何ですか？ ———- Answer フェルマーの最終定理（フェルマーのさいしゅうていり）とは、17世紀のフランスの数学者ピエール・ド・フェルマーによって提案された定理です。この定理は、任意の整数 n に対して、x^n + y^n = z^n という方程式を満たす正の整数の組 (x, y, z) は存在しない、というものです。 つまり、nが2より大きい整数のとき、この方程式を満たす正の整数の組 (x, y, z) は存在しないということを示しています。これは「nが2以上の整数のとき、x^n + y^n = z^n は解を持たない」という意味で、特に n = 2 のときにはピタゴラスの定理を導き出すことができます。 フェルマーはこの定理を提案したものの、彼自身が証明を残さず、後世の数学者たちによって長い間証明が模索されました。その後、1994年にアンドリュー・ワイルズによってフェルマーの最終定理の証明が発表され、この問題は解決されました。
Question 素数の無限性を証明する方法を述べてください。 ———- Answer 素数の無限性を証明する方法の一つは、背理法を使う方法です。 背理法では、仮定を立ててそれが真実であると仮定して矛盾を導き出すことで、その仮定が間違っていることを示します。 まず、素数の個数が有限個しか存在しないという仮定を立てます。仮にn個の素数が存在すると仮定します。 次に、それらの素数をp1、p2、p3、、、pnとします。 新たに、M = p1 * p2 * p3 * … * pn + 1という数を考えます。この数Mは、既知の素数よりも大きい数であることがわかります。 ここで、Mが素数であるかどうかを考えます。Mが素数である場合、既知の素数の集合に含まれない新たな素数が見つかることになります。 一方、Mが素数でない場合、Mは少なくとも2つの素因数を持つことになります。つまり、ある素数pが存在して、M = p * q （ただし、qは自然数）と表せます。 しかし、M = p1 * p2 * p3 * … * pn + 1 としたとき、左辺は既知の素数p1〜pnの積に1を足したものであり、必ず余りが1になります。 したがって、右辺のp * qにおいて余りは0になります。つまり、Mは素数pで割り切れることになります。 しかし、p1〜pnは既知の素数であり、Mはそれらのいずれでも割り切れないことが前提でした。したがって、Mは既知の素数のどれでも割り切れない新たな素数であることが示されます。 このようにして、仮定した素数の個数が有限であるという前提に矛盾が生じることを示すことで、素数の無限性を証明することができます。