素数の無限性を証明する方法を述べてください。

———-
Answer
素数の無限性を証明する方法の一つは、背理法を使う方法です。

背理法では、仮定を立ててそれが真実であると仮定して矛盾を導き出すことで、その仮定が間違っていることを示します。

まず、素数の個数が有限個しか存在しないという仮定を立てます。仮にn個の素数が存在すると仮定します。

次に、それらの素数をp1、p2、p3、、、pnとします。

新たに、M = p1 * p2 * p3 * … * pn + 1という数を考えます。この数Mは、既知の素数よりも大きい数であることがわかります。

ここで、Mが素数であるかどうかを考えます。Mが素数である場合、既知の素数の集合に含まれない新たな素数が見つかることになります。

一方、Mが素数でない場合、Mは少なくとも2つの素因数を持つことになります。つまり、ある素数pが存在して、M = p * q （ただし、qは自然数）と表せます。

しかし、M = p1 * p2 * p3 * … * pn + 1
としたとき、左辺は既知の素数p1〜pnの積に1を足したものであり、必ず余りが1になります。

したがって、右辺のp * qにおいて余りは0になります。つまり、Mは素数pで割り切れることになります。

しかし、p1〜pnは既知の素数であり、Mはそれらのいずれでも割り切れないことが前提でした。したがって、Mは既知の素数のどれでも割り切れない新たな素数であることが示されます。

このようにして、仮定した素数の個数が有限であるという前提に矛盾が生じることを示すことで、素数の無限性を証明することができます。