数列の収束と発散を説明してください。

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Answer
数列が収束するとは、その数列がある数に限りなく近づいていくことを意味します。つまり、ある数Lが存在して、どんな小さな正の数εに対しても、数列の第n項から先の項すべての値がLからεより小さい値とLからεより大きい値の範囲に収まる場合、その数列はLに収束すると言えます。

一方、数列が発散するとは、その数列がどんどん大きくなるかどんどん小さくなるか、あるいは数値が周期的に変化することを指します。つまり、数列がある数に収束しない場合、その数列は発散すると言えます。

例えば、以下の数列を考えてみましょう。

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …

この数列は、項を増やしていくにつれて値が小さくなっていきますが、どんなに項を増やしても0にはならず、かといってどんなに小さくても0に収束するわけでもありません。この数列は発散すると言えます。

一方、以下の数列を考えてみましょう。

1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

この数列は、項を増やしていくにつれて値が小さくなっていきます。実際、第n項は1/2^(n-1)で表されます。この数列は、項を無限に増やすと0に収束することがわかります。この数列は収束すると言えます。