ラグランジュの定理（平均値の定理）を説明してください。

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Answer
ラグランジュの定理、または平均値の定理とは、2つの点の間で微分可能な関数が与えられた場合、その2つの点を結ぶ直線に平行なある1つの線が存在するとき、その線上のある点での関数の傾きが、2つの点を結ぶ直線の傾きに等しいことを述べる定理です。

具体的に言えば、関数f(x)が[a,b]の間で微分可能であるとき、あるc∈(a,b)が存在して、f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)となります。このcをラグランジュの定理の中で「平均値の定理で与えられた構成点」と呼びます。

この定理は、微分学の基礎的な定理の一つであり、様々な応用があります。例えば、関数の最大値や最小値、曲線の接線や法線、積分の公式の証明で使われます。