部分積分法の公式とその適用例を説明してください。

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Answer
部分積分法の公式は以下の式で表されます。

∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) − ∫v(x)u'(x)dx

この式は、2つの関数u(x)とv(x)の積分を行う場合に使用されます。具体的には、u(x)を微分してv'(x)を得られる場合に適用されます。このとき、積分する式をu(x)v'(x)として、u(x)とv'(x)のそれぞれの積分を求めます。そして、求めた式を代入することで、元の式を簡単にすることができます。

例えば、以下のような式を考えてみましょう。

∫x^2e^x dx

この式に部分積分法を適用すると、次のようになります。

u(x) = x^2 → u'(x) = 2x
v'(x) = e^x → v(x) = e^x

∫x^2e^x dx = x^2e^x − ∫2xe^x dx

このように、積分する式を変形することで、計算を簡単にすることができます。部分積分法は、三角関数や指数関数を含むような複雑な式を簡単に解く場合にも有効です。