置換積分法とは何ですか？具体的な例を挙げて説明してください。

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Answer
置換積分法とは、与えられた積分式を別の変数に置き換えることによって、積分がより簡単に計算できるようにする方法です。

具体的な例として、次の積分を考えます。

∫(x²+1)^(1/2) dx

この式は、積分の被積分関数が二次式の平方根であるため、直接的な積分ができません。そこで、置換積分法を用いて解決します。以下の手順で進めます。

1. u=x²+1 とおく。
2. du/dx = 2x であるから、dx = du/2x と置き換える。
3. 積分式を変数uを用いた式に置き換える。

∫(x²+1)^(1/2) dx = ∫(u)^(1/2) du/2x

4. u=x²+1をxについて解き直し、x=(u-1)^(1/2)とおく。
5. 置き換え後の式にxを代入する。

∫(x²+1)^(1/2) dx = ∫(u)^(1/2) du/2x = ∫(u)^(1/2) du/[2(u-1)^(1/2)]

6. この式をさらに簡単に計算すると、

∫(x²+1)^(1/2) dx = [2(u-1)^(1/2) + u^(1/2)]/2 + C
= (u-1)^(1/2) + (u/2)^(1/2) + C
= [(x²+1)-1]^(1/2) + [(x²+1)/2]^(1/2) + C

となります。このように、置換積分法を用いることで、元の積分式をより簡単に計算することができます。