なぜ0の階乗は1と定義されているのですか？

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Answer
0の階乗が1と定義されるのは、数学的な便宜上の理由からです。

階乗は、自然数nに対して n! と表され、1からnまでの全ての自然数の積を意味します。例えば、5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120です。

それにも関わらず、0!が1と定義されている理由は、以下のような複数の理由からきています。

1. 空の集合の要素の数としての考え方：
階乗の定義において、n=0の場合、積の対象となる数が存在しないため、0!を空の集合の要素の数として定義することができます。空の集合には要素がないため、それを表すために1と定義されるのです。

2. 再帰的定義の一貫性：
階乗の定義を再帰的に表現すると、n! = n × (n-1)!
となります。この再帰的な定義を成り立たせるために、0!を1と定義する必要があります。なぜなら、n=1の場合、1! = 1 × 0!
となり、左辺が1であるため、0!は1である必要があるからです。

このような理由から、0の階乗は1と定義されるのです。